Articoli

Quaderni SNV n° 4, con R. Garuti, D. Paola e A. Orlandoni, ottobre 2012

Progetto Alice n. 38. II 2012, settembre 2012

Quanto segue è una personale proposta didattica di avvicinamento allo strumento più importante per aggiornare le stime di probabilità via via che si ottengono nuove informazioni: il teorema di Bayes. In particolare il lavoro cerca di mettere in luce l’effettiva potenza del teorema di Bayes, applicato nella sua forma più semplice ed espressiva: la probabilità di un evento condizionato è proporzionale alla sua verosimiglianza.

Progetto Alice n. 37. I 2012, aprile 2012

Il primo approccio alla probabilità nelle nostre scuole è quello "classico": il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. Questo approccio ha molti pregi; tuttavia se resta l'unico si rischia di confondere la probabilità con la combinatoria e di ridurla a problemi di conteggio, di trattare solo problemi di carte, dadi e monete; invece è importante mostrare che la probabilità ha ambiti di impiego più generali (e più importanti). L'idea di scommessa è precoce nei bambini e potrebbe essere utilizzata per un approccio più generale alla didattica della probabilità. Inoltre l'idea di scommessa è il fondamento dell'approccio soggettivista, che rappresenta oggi un modello universale, che contiene tutti gli altri, perché si può applicare a qualunque stima di probabilità.

Progetto Alice n. 36, III 2011, dicembre 2011

L'operazione di somma (di numeri, di polinomi, di equazioni, di vettori, di matrici, di funzioni, ...) è uno dei pilastri dell'intera matematica. Sommare due oggetti è spesso il modo più naturale di tener conto del loro effetto congiunto. Anche per i numeri aleatori (o variabili aleatorie) risulta naturale definire l'operazione di somma. Molti giochi, ad esempio, si basano sulla somma di due dadi, cioè di due particolari numeri aleatori con la stessa distribuzione di probabilità. Oppure: il guadagno totale di più scommesse è la somma dei guadagni aleatori in ciascuna di esse. La somma di numeri aleatori presenta forti analogie e significative differenze rispetto alla somma di numeri. Il problema più generale potrebbe essere così enunciato: note le distribuzioni di probabilità di due numeri aleatori X e Y, qual è la distribuzione di probabilità di X+Y?

Quaderni SNV n° 1, con D. Paola e A. Orlandoni, 2011

Matematica dinamica

La matematica e la sua didattica, anno 22, n° 1 marzo 2008

L'idea di geometria dinamica si è in qualche modo consolidata nella scuola italiana. Bene, allora perché non estendere l'idea di dinamico ad altri settori dell'insegnamento della matematica? Perché non pensare ad un'aritmetica dinamica, un'algebra dinamica, ad una analisi dinamica, e così via? Forse questo è un modo per mettere in pratica le ancora attuali raccomandazioni di Enriques su un insegnamento dinamico della matematica (Enriques 1921).

Bollettino dei Docenti di Matematica del Canton Ticino (CH) n° 55, dicembre 2007

Risolvere un'equazione differenziale è forse la più importante e naturale applicazione del Calculus. Ma le equazioni che ammettono una soluzione simbolica sono poche. L'unico modo di risolvere un'equazione differenziale è spesso quello di adottare un metodo numerico. L'articolo illustra gli algoritmi di Eulero e Runge-Kutta per la risoluzione di equazioni e di sistemi di equazioni differenziali, l'implementazione in Excel e il classico modello preda-predatore.

Progetto Alice, III 2006

Questo articolo è il resoconto di un'esperienza di lavoro svoltasi il 22 aprile e il 6 maggio 2006 presso il Liceo Scientifico A. Issel di Finale Ligure, nell'ambito di un progetto coordinato dal prof. Domingo Paola. L'obiettivo è stato fornire le conoscenze matematiche necessarie al fine di descrivere in modo dettagliato il metodo RSA per la criptazione dei messaggi. Parallelamente sono stati implementati con Derive gli algoritmi necessari e ne è stata analizzata e testata la loro calcolabilità. È stato così possibile concludere l'esperienza con una prova effettiva di codifica-decodifica di messaggi. Le stesse funzioni sono state implementate anche con la TI-89.

Regressione: un'ipotesi di percorso didattico (1.06 MB)

Progetto Alice, I 2006

Viene presentata un'ipotesi di percorso didattico che prende le mosse dal modello più semplice di regressione (quello lineare), per trattare poi le funzioni polinomiali, le funzioni potenza, le funzioni esponenziali, e accennare infine al problema più generale della regressione non lineare.

Rinnovare i piani di studio di matematica (282 KB)

Nuova secondaria, n°6 febbraio 2006

Si presenta una ricca serie di esemplificazioni dell'uso di strumenti automatici di calcolo. L'obiettivo è quello di mostrare metodi e contenuti per un profondo rinnovamento dei curricoli.

Variabili aleatorie continue e simulazioni (548 KB)

Progetto Alice, III 2004

Nell'introdurre le variabili aleatorie continue ci si scontra con la difficoltà di far comprendere che cosa sia la funzione di densità di probabilità. Mediante simulazioni numeriche e grafiche al calcolatore la "densità" assume un valore percettivo, e quindi semantico, di grande evidenza, che diventa punto di partenza per esplorazioni e scoperte matematiche.

Sistemi dinamici discreti (1.71 MB)

Progetto Alice, III 2003

Una condizione iniziale e una legge ricorsiva sono tutto ciò che serve per definire un sistema dinamico discreto (SDD): si tratta di un oggetto matematico nuovo per la scuola, che si presta in modo naturale ad essere esplorato con strumenti automatici di calcolo; i sistemi dinamici discreti offrono un modello semplice ed efficace per descrivere l'evoluzione di molti fenomeni reali e per risolvere problemi dall'enunciato semplice ma dallo sviluppo a volte imprevedibile: anche in semplici sistemi si annida il caos.

SDD lineari e lineari affini: equilibrio e stabilità
Il diagramma di fase
Catene di Markov
Matrici di Leslie
Triangolo di Sierpinski
Prede e predatori
Algoritmo di Newton
Caos
La crescita logistica
Diagramma di biforcazione
Insieme di Mandelbrot

Algoritmi e simulazioni (288 KB)

V Convegno ADT, L'insegnamento della matematica e delle scienze con le tecnologie portatiti, Castel San Pietro, novembre 2003

Gli algoritmi segnano la storia della matematica come pietre miliari. Costruire algoritmi a partire da una libreria di funzioni predefinite (la "riga e compasso" di oggi) è un'attività ricca dal punto di vista sintattico (l'unico "rigore" che ha davvero un senso) e dal punto di vista semantico (l'algoritmo esegue ciò che vogliamo?)

Se possiamo utilizzare strumenti automatici di calcolo, si amplia enormemente la classe di problemi che possiamo "risolvere". Già: che cosa significa, in questo nuovo contesto, "risolvere"? Simulare la risoluzione di un problema può essere un modo per risolverlo? Certamente è un modo per esplorare e comprendere le strutture matematiche, per far sorgere congetture, per stimolare la domanda "perché funziona così?", per provocare l'esigenza di una dimostrazione.

Esempi, attività, percorsi didattici.

 File utilizzati nella presentazione (TI-89, Mathcad)

Calcolo numerico e calcolo simbolico (185 KB)

Nuove prospettive per il curriculum di matematica

XXIII Convegno UMI-CIIM, L'insegnante di matematica oggi: formazione e pratica professionali, Loano, ottobre 2002

Vizi e virtù del calcolo simbolico nell'insegnamento attuale. Mille motivi per un'integrazione tra approccio numerico (oggi quasi assente) e calcolo simbolico, e per una maggiore strutturazione del calcolo simbolico. Esempi, attività, percorsi.

 File utilizzati nella presentazione (Excel, Maple, Mathcad)

Un problema di dadi (147 KB)

Progetto Alice, III 2002

Quante volte occorre lanciare una moneta affinché esca sia TESTA che CROCE?

Quante volte occorre lanciare un dado perché escano tutte le facce?

Quante figurine devo comprare per "finire" l'album?

Questo problema, noto come "il problema del collezionista" ammette una soluzione generale bellissima.

Probabilità e bridge (155 KB)

agosto 2002

Un tipico (e spesso decisivo) problema nel gioco del Bridge è quello di prevedere come sono distribuite tra i due avversari le carte mancanti di un certo seme. Per esempio, la linea Nord-Sud possiede 9 carte di picche. Come sono distribuite le rimanenti 4 carte di picche sulla linea Est-Ovest? Ci sono tre possibilità:

·     Le quattro carte di picche sono tutte in mano ad un solo avversario, non importa quale (distribuzione 4-0).

·     Un avversario (non importa quale) possiede tre carte di picche e l'altro una sola (distribuzione 3-1).

·     Ciascun avversario possiede 2 carte di picche (distribuzione 2-2).

Qual è la probabilità di ciascuna di queste distribuzioni? Questo è il problema che vogliamo risolvere.

Moti piani e equazioni parametriche  (223 KB)

IV Convegno ADT, Monopoli, ottobre 2002

Un punto si muove nel piano cartesiano. Ad ogni istante t (per esempio misurato in secondi) la sua ascissa x e la sua ordinata y (per esempio misurate in metri) sono espresse, in funzione del tempo t, dalle funzioni x(t) e y(t). Questo semplice modello risulta, dal punto di vista didattico, assai remunerativo perché permette di affrontare dal punto di vista concettuale e dal punto di vista operativo diversi oggetti matematici.
I file utilizzati durante la comunicazione sono scaricabili alla pagina TI-89 TI-92 Plus.

Un problema di RISIKO  (123 KB)

agosto 2002

A "Risiko", un gioco di simulazione, ogni giocatore è, a turno, "difensore" oppure "attaccante". Attaccante (A) e difensore (D) si sfidano con i dadi e il difensore, come è giusto che sia, vince anche in caso di parità: se A e D si sfidano con 1 dado a testa, A vince con probabilità 5/12. Se A attacca con 2 dadi e D si difende con 1, allora A vince se almeno uno dei suoi dadi è maggiore di quello di D: come fare a calcolare la probabilità di vittoria di A? Si tratta di una semplice applicazione della probabilità condizionata. Che cosa succede se A attacca con n dadi? Contrariamente a quanto suggerisce l'intuito la probabilità di vittoria per A aumenta, ma non tende a 1.

The NT (New Technology) Hypothesis  (230 KB)

ICTM 2, Creta, luglio 2002

È il resoconto di un'esperienza al primo anno di un corso di laurea in Economia: il corso di Matematica Generale (120 ore, 12 crediti) è stato condotto in parallelo con un corso virtuale (piattaforma Learning Space) e con un'attenzione particolare all'utilizzo di Mathcad, un potente software di calcolo numerico e simbolico. Alcune prove di valutazione sono state svolte in aula informatizzata, utilizzando sia Mathcad che l'ambiente di e-learning fornito da Learning Space.

Coefficienti binomiali  (127 KB)

agosto 2002

Si lancia una moneta truccata, in cui TESTA esce con probabilità p (e CROCE con probabilità 1-p), n volte. Qual è la probabilità che TESTA esca k volte? A partire dalla definizione "insiemistica" di coefficiente binomiale (è il numero di sottoinsiemi di k elementi scelti in un insieme di n elementi) si arriva alla definizione "aritmetica", mediante i fattoriali, e al collegamento con la distribuzione binomiale e la gaussiana di media np e varianza npq.

Con la calcolatrice senza libro di testo (175 KB)

Convegno Nuova Università + Nuove Tecnologie = Nuova Didattica?, Università di Perugia, maggio 2001

Il problema che vorrei sollevare è il seguente: ipotizziamo che lo studente abbia a disposizione, in tutte le fasi del processo di apprendimento (durante la lezione, nella preparazione individuale, all’esame) uno strumento in grado di:

* effettuare calcolo numerico

* svolgere calcolo simbolico

* tracciare ed esplorare grafici

* accettare funzioni definite dall’utente

* eseguire semplici programmi

Sotto questa ipotesi, che chiamerò ipotesi NT (nuove tecnologie), come cambia un corso di matematica? Come cambiano i contenuti, la presentazione dei concetti fondamentali, gli esercizi e problemi da proporre, gli strumenti di valutazione?

Matematica e Disegno (243 KB)

Agorà, IV, 2001

Si tratta di un lavoro svolto in una classe IV liceo scientifico. Come si disegna su un foglio (ovviamente piano) una figura tridimensionale? Scegliamo, come metodo di rappresentazione, l’assonometria, cioè la proiezione da un punto all’infinito. Si tratta di una trasformazione lineare, che quindi conserva il parallelismo. Ogni trasformazione lineare da R³ in R² è pienamente descritta da una matrice 2´3. A partire dalle equazioni parametriche di curve e superfici nello spazio, mediante l’assonometria cavaliera e utilizzando la TI-89, si disegnano circonferenze, sfere, coni, cilindri, e altro ancora.

Integrazione numerica e analisi degli errori (160 KB)

Archimede, 3 - 2001

Si tratta di un lavoro "sperimentale" svolto in classe. Sia data una funzione ¦(x) continua su un intervallo [a, b]. I tre classici metodi di integrazione numerica (metodo dei rettangoli, dei trapezi, delle parabole) hanno in comune il punto di partenza: si divide l'intervallo [a, b] in n intervalli di ampiezza (b-a)/n. Al crescere di n l'approssimazione migliora e al tendere di n all'infinito l'errore tende a zero: qual è il legame tra l'errore e n?

Interpolazione e approssimazione polinomiale (1651 KB)

Quaderno di Lavoro per “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”, III 8, aprile 2001

Si tratta di un lavoro corposo: viene trattata sia la ricerca del polinomio di grado n che interpola n+1 punti (algoritmi con matrici, algoritmo di Lagrange, di Newton), sia la ricerca del "miglior" polinomio di grado n che approssima una funzione continua su un intervallo [a, b]. Viene anche presentata, in forma elementare, la teoria dei polinomi ortogonali.

Le commissioni e il caso (211 KB)

Agorà, IV, 2000

1999: Nuovo Esame di Stato al Liceo Scientifico "Galileo Ferraris" di Varese. Si analizza, per tutti gli studenti del Liceo (divisi nelle varie commissioni) la correlazione tra la media dei voti in pagella al termine del secondo quadrimestre (sulla quale è stato stabilito il credito scolastico) e il voto d'esame finale.

Il signor Radiceditresudue (149 KB)

IPOTESI, anno 2, n° 3, gennaio 2000

Nuovo Esame di Stato 1999: cambia tutto, ma non cambia la prova scritta di matematica. Anzi, peggiora.

Matematica nella scuola di tutti (190 KB)

2° Congresso ADT (Associazione per la Didattica con le Tecnologie), Montesilvano (PE), ottobre 2000

In vista della riforma dei cicli si raccolgono elementi di riflessione e discussione sul rinnovamento metodologico nell'insegnamento della matematica.

Datemi un polinomio (261 KB)

INCONTRI CON LA MATEMATICA N. 14, Castel San Pietro Terme, 3-5 novembre 2000

Si può dire che il tema “polinomi” accompagni costantemente il curriculum di matematica in tutto il

ciclo secondario: dai prodotti notevoli fino ai polinomi di Taylor. Vengono presentati due aspetti:

·       la struttura algebrica dei polinomi

·       il polinomio come un potente strumento di approssimazione

Equazioni di secondo grado (113 KB)

Equazioni e sistemi lineari (102 KB)

Pendenza e teorema di Ruffini (125 KB)

Polinomi e incrementi (101 KB)

Programmazione Aritmetica (78 KB)

Programmazione Geometria analitica (160 KB)

Algebra fra tradizione e rinnovamento, progetto di aggiornamento MPI-UMI, maggio 2000

Si tratta di brevi esemplificazioni dell'uso della TI-92 sui vari temi.

Computer algebra e calcolo infinitesimale (292 KB)

La matematica e la sua didattica, n° 1-2000

Vorrei mostrare un percorso didattico che sfrutta le potenzialità della computer algebra per rendere più forti dal punto di vista semantico i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale, e per affiancare al tradizionale bagaglio teorico abilità di tipo algoritmico e padronanza nelle approssimazioni numeriche. Il lavoro che illustro è stato realizzato dal 1997 al 1999 nell'ambito della sperimentazione LABCLASS (Laboratorio in classe) del M.P.I.

Matematica e fisica (479 KB)

Convegno Matematica e aspetti interdisci-plinari, Mathesis sez. di Verbania e CERFIM di Locarno, aprile 1999

È possibile collegare alla TI-92, mediante il CBL, sensori in grado di rilevare una grandezza fisica.

Si mostrano alcune applicazioni del sensore di posizione (moto armonico, rimbalzi di una palla elastica), del microfono (forma d'onda e frequenza di onde sonore), del sensore di intensità luminosa (rilevazione della frequenza di rete della corrente alternata).

La retta di regressione (133 KB)

Mathesis Varese, ottobre 1999

Uno dei temi nuovi e centrali per il rinnovamento dei programmi di matematica è quello di  determinare la miglior curva che approssima una serie di dati osservati. Si tratta di stabilire in modo ragionevole, sulla base delle informazioni disponibili, un buon modello (una retta, una curva esponenziale, una funzione potenza, eccetera) che si adatti ai punti. Una volta stabilito il tipo di funzione che si vuole adottare, occorre determinare la miglior funzione di quel tipo: un metodo per definire quale sia la miglior funzione, largamente utilizzato nella pratica scientifica, e di forte valenza concettuale è il metodo dei minimi quadrati.

Il primo frattale di Cayley (182 KB)

Riprodotto con permesso da

M. Impedovo, Matematica: insegnamento e computer algebra, Milano 1999

Springer Verlag Italia

Il lavoro è nato da una lettura sorprendente. Arthur Cayley, nel 1870, analizzando l'algoritmo di Newton per l'approssimazione delle radici di un'equazione algebrica in C (anziché in R) si pose un problema che a quei tempi non poteva risolvere. La risposta conduce ad una struttura apparentemente caotica, in cui è possibile riconoscere una omotetia interna: si tratta forse del primo frattale della storia della matematica, anche se non costruito ma soltanto intuito.

Cinque ore sono troppe (167 KB)

IPOTESI, anno 1 n° 2, gennaio 1999

Si prende a pretesto la prova scritta di matematica all'esame di maturità scientifica PNI del 1998 per mostrare come con una calcolatrice grafica (attualmente vietata) sarebbero sufficienti poche decine di minuti per svolgere problemi il cui valore formativo è perciò discutibile.

Oltre lo studio di funzione (165 KB)

Lettera Matematica P.RI.ST.EM, n° 30, dicembre 1998

La ricerca della miglior funzione da adattare a n punti è un esempio di matematica fatta con un certo spirito critico. Viene presentato qualche esempio di attività di questo tipo: funzioni lineari, funzioni potenza, funzioni esponenziali e relative funzioni di regressione.

Cabri II Oltre la geometria euclidea (338 KB)

Bollettino CABRIRRSAE, n° 18, dicembre 1998

La versione II di Cabri-Géomètre consente di utilizzare numeri e calcolare (per esempio di caratterizzare l'omotetia mediante un numero), di misurare angoli, di trasportare lunghezze da rette a circonferenze e viceversa. Il paradigma euclideo della riga e compasso è così superato. Questo è un passo importante per rendere più vivace l'insegnamento della geometria.

L'esperienza Labclass (193 KB)

INCONTRI CON LA MATEMATICA n. 12, Castel San Pietro, novembre 1998

Una breve presentazione della sperimentazione Labclass (Laboratotio in classe), promossa e finanziata dalla Direzione Classica del Ministero della Pubblica Istruzione.

Colpire il bersaglio (166 KB)

IPOTESI, anno 1 n° 1, settembre 1998

Questo articolo è il resoconto di un’attività svolta in una classe terza liceo scientifico durante lo studio dei moti parabolici. Uno studente ha posto il problema: Supponiamo di voler colpire un bersaglio posto nel punto (x₀,y₀): quale velocità iniziale e quale angolo di elevazione occorre utilizzare? Qual è l'angolo "migliore", cioè quello che consente la minima velocità iniziale?

Matematica e computer grafica (124 KB)

Periodico Mathesis Milano, n° 15, 1998

Al liceo scientifico si studia Disegno. In particolare (in prima o seconda) si affrontano le tecniche di rappresentazione di una figura tridimensionale su un piano (il quadro). Mediante semplici conoscenze vettoriali è possibile descrivere dal punto di vista matematico la rappresentazione assonometrica (proiezione parallela), e determinare la trasformazione lineare che muta un punto generico dello spazio (x, y, z) nel corrispondente punto (X, Y) sul quadro.

La distanza tra Roma e New York (190 KB)

Bollettino dei Docenti di Matematica del Canton Ticino (CH) n° 36, maggio 98

L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 21 B, n° 5, ottobre 1998

È possibile individuare univocamente un punto sulla superficie terrestre mediante una coppia di numeri reali? In tal caso, dati due punti, qual è la loro distanza? Quali analogie e quali differenze ci sono tra le geometrie analitiche del piano e della sfera? Lo strumento fondamentale utilizzato per la risoluzione del problema è il prodotto scalare tra vettori in R³. L'interpretazione dello spazio tridimensionale come spazio vettoriale euclideo permette di risolvere in modo elegante e unitario il problema posto.

Matrici e isometrie nello spazio (231 KB)

L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 21 B, n° 1, febbraio 1998

Anche nello spazio è possibile classificare le trasformazioni geometriche che conservano le distanze mettendole e caratterizzarle mediante matrici. I calcoli necessari si prestano ad essere svolti mediante un software di calcolo. Qui viene utilizzato MapleV.

I nuovi strumenti modificano l'insegnamento della matematica (195 KB)

Lettera Matematica P.RI.ST.EM n° 23, marzo 1997

Quali novità (strutturali, di contenuto, metodologiche) introducono le nuove tecnologie portatili?

La prova scritta (137 KB)

Lettera P.RI.ST.EM, n° 17, settembre 1995

Si analizzano e si criticano i modelli di prove scritte di matematica alla maturità scientifica forniti dal Ministero (in particolare il testo della prova del 1995). I temi di maturità scientifica rappresentano in qualche modo l'evoluzione concettuale e culturale dell'insegnamento della matematica in Italia: perché proporre problemi così poveri, in cui si scambia la matematica per un insieme di tecniche di calcolo?

L'algoritmo di Sturm (38 KB)

Lettera P.RI.ST.EM, n° 10, dicembre 1993

Questo lavoro nasce dalla collaborazione tra un insegnante e uno studente (Simone Pavanelli, ora laureato e dottorando in Matematica), che ha curato la costruzione dell'algoritmo e la realizzazione del programma (in Pascal 6) per la ricerca delle radici di un polinomio a coefficienti razionali. L'algoritmo di Sturm è un classico ed elegante metodo di calcolo che si presta in modo particolare ad essere implementato mediante un software di calcolo simbolico.

Calcolo letterale (37 KB)

Periodico Mathesis Milano n°7, 1993

Che cosa è davvero importante nel calcolo letterale? Tutte le cosiddette "regole" del calcolo algebrico sono da ricondursi essenzialmente alle caratteristiche della struttura algebrica di campo, e quindi sono tutte riassumibili in poche, semplici proprietà che riguardano le due operazioni fondamentali di addizione e moltiplicazione. Lo spazio tradizionalmente dedicato alle frazioni algebriche è spropositato in rapporto al valore culturale e anche agli obiettivi operativi. Insufficiente e spesso imprecisa è invece l'attenzione rivolta all'anello dei polinomi in una variabile; tale struttura costituisce un contesto fondamentale per gran parte del curriculum di matematica delle scuole medie superiori.