Il quadro teorico di riferimento del nostro progetto ha guidato e ispirato tutte le attività che abbiamo proposto. Le idee principali sulle quali si fonda sono le seguenti (i riferimenti bibliografici fra parentesi fanno riferimento alla bibliografia):

	importanza, in una prospettiva vigotskiana (Vigotskij, 1966) all'interazione sociale in classe e al ruolo di mediazione semiotica giocato dagli strumenti nel processo di costruzione di conoscenza. Teniamo a sottolineare che ciò non vuol in alcun modo dire, come spesso si fraintende, dimostrando molta superficialità, che la classe deve diventare unicamente un luogo di socializzazione. Il fatto è che la costruzione del sapere è un'attività sociale, in quanto comporta interazioni fra individui e un sapere istituzionale che è un prodotto della società. Sotto questo aspetto il ruolo degli strumenti diventa essenziale, in quanto ogni strumento incorpora una conoscenza che può essere messa a disposizione di un utente. Per esempio, una calcolatrice tascabile incorpora parti dell'aritmetica; la riga e il compasso o un software di geometria dinamica incorporano parti della geometria; un software di manipolazione simbolica incorpora arti dell'algebra e dell'analisi. Lo studente che usa una calcolatrice, la riga e il compasso, un software di geometria dinamica o un manipolatore simbolico entra inevitabilmente a contatto con il sapere incorporato in quegli strumenti e, se guidato da un esperto consapevole del ruolo giocato dallo strumento, può acquisire conoscenza utilizzando lo strumento stesso. Si tratta di un tipo di apprendimento che è fondamentalmente differente da quello ricostruttivo simbolico che avviene attraverso la lettura di un manuale. In questo caso, se l'esperto ha avuto cura di costruire un ambiente di apprendimento fondato sull'uso dello strumento, lo studente può compiere vere e proprie esperienze in questo ambiente di apprendimento e imparare per tentativi ed errori. Gli psicologi chiamano questo tipo di apprendimento "percettivo - motorio"; si tratta di una modalità molto meno faticosa rispetto all'apprendimento ricostruttivo simbolico e, al tempo stesso, più redditizia, nel senso che permane nel tempo e ha meno bisogno di continui rinforzi. Inoltre è una modalità di apprendimento che è fortemente legata alla natura umana: è il modo naturale di apprendere dell'essere umano. Chi volesse avere maggiori informazioni su questa problematica può leggere il libro di Francesco Antinucci, La scuola s'è rotta, Laterza, pubblicato nel 2001.
	Importanza, in una prospettiva costruttivista dell'apprendimento, alla costruzione sociale del sapere in classe. Non si tratta in alcun modo di una prospettiva costruttivista da intendersi in senso radicale. È nostra profonda convinzione che l'esperto giochi un ruolo fondamentale e che non sia possibile far ripercorrere allo studente tutta la storia di una determinata disciplina o di un certo campo del sapere. È necessario tenere presente che esistono artefatti culturali di cui l'esperto può disporre per razionalizzare il percorso di apprendimento dello studente. Insomma, si impara anche per imitazione dell'esperto e si impara soprattutto in ambienti di apprendimento costruiti dagli esperti per ottimizzare i percorsi di conoscenza. La nostra idea di ambiente di apprendimento ideale è quella dell'apprendistato cognitivo nella bottega rinascimentale, dove gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, imitati dai compagni e imitando compagni e maestro. L'ambiente della bottega rinascimentale non è facilmente riproducibile a scuola: nella bottega i tempi dell'apprendimento erano lunghi, non compressi da orari rigidi. Nella bottega non vi era un vero e proprio programma, ma solo obiettivi da conseguire. Nella bottega non c'erano verifiche formali, perché il maestro otteneva informazioni sul processo di apprendimento degli studenti vedendoli lavorare, in situazione.  Insomma, l'ambiente rigido dell'attuale scuola, scandito da orari, programmi, verifiche, quando non anche lezioni frontali con poca partecipazione degli studenti, non è sicuramente il più adeguato a favorire motivazioni e apprendimento.  L'autonomia scolastica, se intesa con coraggio, potrebbe aiutare non poco a creare un ambiente simile a quello della bottega rinascimentale. Alcune azioni sono necessarie e non costano molta fatica, ma solo coraggio. Innanzitutto rinunciare alla lezione frontale come principale strumento di comunicazione tra insegnante e studenti: la lezione frontale dovrebbe costituire una percentuale minima (non superiore al 10%) dell'azione didattica. In secondo luogo, gli studenti dovrebbero essere messi in condizione di poter comunicare durante le attività didattiche. Ciò vuol dire che la classe dovrebbe essere disposta in modo tale da favorire comunicazione fra gli studenti: per esempio, si potrebbero costruire delle piccole isole di tre o quattro banchi nelle quali gli studenti potrebbero lavorare in piccoli gruppi (3 - 4 studenti per gruppo), avendo, però, la possibilità di alzarsi, di tanto in tanto, per comunicare con gli altri gruppi.  I momenti di condivisione collettiva del sapere e delle attività svolte dovrebbero essere orchestrati dall'insegnante in discussioni collettive in cui possano essere confrontate le diverse voci degli studenti. Il ruolo dell'insegnante in queste discussioni è particolarmente delicato, perché non può limitarsi a mettere a confronto le diverse voci degli studenti, ma deve riuscire a fare da eco (magari utilizzando anche le voci del sapere istituzionale o le voci della storia di una disciplina o di un certo campo del sapere) a quelle voci che risultano più adeguate a favorire processi di acquisizione di conoscenza. Didattica del confronto, della discussione, gioco voci - eco, sono costrutti teorici del gruppo di ricerca in educazione matematica dell'università di Genova coordinato da Paolo Boero, al quale abbiamo fatto costante riferimento nella progettazione, nella realizzazione e nella sperimentazione del nostro progetto. Chi volesse rendersi maggiormente conto, già ora, mediante un esempio pratico, di che cosa intendiamo con didattica del confronto, della discussione e con gioco voci - eco, può collegarsi al sito web http://didmat.dima.unige.it/  che raccoglie i materiali del progetto SET coordinato da Paolo Boero, Maria Alessandra Mariotti e Mariolina Bartolini Bussi, oppure limitarsi alla lettura del seguente articolo di Domingo Paola, comparso sulla rivista Didattica delle scienze de La Scuola di Brescia e disponibile in linea:   Il problema delle parti: prassi didattica e storia della matematica. Un'altra condizione necessaria alla realizzazione dell'ambiente della bottega rinascimentale che può essere conseguita senza grosse difficoltà è la drastica riduzione delle prove di verifica tradizionali, siano esse orali o scritte. Come già detto, nella bottega rinascimentale, non erano necessarie prove di verifica per valutare i progressi degli apprendisti, perché tali progressi erano valutati proprio attraverso l'osservazione del lavoro in situazione. Certo, è bene precisarlo, un atteggiamento di questo tipo vuol dire superare una volta per tutte la convinzione che le prove di verifica oggettive siano preferibili a quelle soggettive. Si tratta di prove di verifica che hanno funzioni profondamente differenti. Quelle oggettive, per la loro stessa natura e funzione, devono minimizzare il ruolo di chi valuta nell'assegnazione del punteggio. Devono quindi essere strutturate, a risposta chiusa; per tale motivo sono poco adatte a valutare competenze di alto livello tassonomico, mentre sono utilissime per effettuare confronti a larga scala, anche di realtà diverse, su possesso di conoscenze e abilità specifiche di basso livello tassonomico. Se, invece, si vogliono valutare competenze di elevato livello tassonomico, allora non è sufficiente valutare prodotti, ma è necessario osservare i processi: è necessario osservare gli studenti mentre discutono strategie risolutive, mentre confrontano opinioni, mentre argomentano, mentre sbagliano e controllano i proprio errori o verificano o giustificano una soluzione. La valutazione, in questo caso, non può che essere soggettiva, lasciata alla completa responsabilità e professionalità del docente. Altre modifiche importanti, anche se non necessarie, per la realizzazione della bottega rinascimentale sono più difficilmente realizzabili nella scuola attuale, anche perché non dipendono dalla volontà del singolo insegnante: per esempio la rigida strutturazione degli orari e dei programmi (ma su questo fronte qualcosa si può fare nella scuola dell'autonomia); oppure la possibilità di disporre di strutture efficienti, di laboratori attrezzati, di spazi ampi e adatti ai lavori di gruppo. Facciamo notare che, nel nostro gruppo di lavoro, è stata effettuata, nell'a.s. 2001 - 2002 un'esperienza in una prima classe di liceo scientifico che segue un corso PNI a Finale Ligure, nella quale le condizioni necessarie alla realizzazione della bottega rinascimentale sono realtà.  (Nota: la descrizione dell'esperienza si può ora trovare al sito http://didmat.dima.unige.it/ cliccando su progetti DIMA/MIUR e poi su Storia di una ricerca).
	Particolare attenzione agli aspetti emozionali - affettivi, per l'importanza che essi rivestono nei processi di insegnamento - apprendimento (Furinghetti, 2002; Goleman, 1999; Tuffanelli, 1999). L'importanza di tali aspetti è ora presa in sempre maggiore considerazione nell'ambito della ricerca didattica. Quest'anno (Nota: ci si riferiva al 2001), per esempio, il seminario nazionale di ricerca in didattica della matematica, che si tiene annualmente a Pisa, è stato dedicato interamente alla discussione degli sviluppi nazionali e internazionali su questa problematica. La relatrice è stata Rosetta Zan, del Dipartimento di matematica dell'Università di Pisa. Noi siamo profondamente convinti che la scuola debba contribuire a formare persone complete, non solo sotto gli aspetti cognitivi, ma anche quelli legati alla sfera relazionale, emotiva ed affettiva. Riteniamo, in altri termini, che le attività di insegnamento - apprendimento non possano non farsi carico anche dei problemi che uno studente incontra nel collaborare e nel cooperare nei gruppi di lavoro o dei problemi che incontra nell'accettare e nel valutare successi e insuccessi. Insomma, uno studente che attribuisce le colpe dei propri insuccessi a cause non controllabili è un problema didattico almeno della stessa importanza e  dignità di quello determinato dall'incapacità dello studente a fare calcoli o a esprimersi correttamente nella propria lingua.
	Minore attenzione agli aspetti sintattici e maggiore attenzione agli aspetti semantici. La scuola italiana è stata caratterizzata per anni, al di là delle buone intenzioni, dalla frammentazione del sapere in materie, da un'elevata selezione e dall'addestramento a regole sintattiche e formali di dubbio significato per gli studenti. Si trattava di tre aspetti che si rinforzavano a vicenda e che erano sostenibili essenzialmente per tre motivi: semplificavano notevolmente il ruolo e le funzioni del docente; il proseguimento negli studi era garanzia di affermazione sociale; forme di apprendimento percettivo - motorio non erano facilmente realizzabili senza le nuove tecnologie oggi disponibili. La seconda e la terza di queste condizioni non sono oggi così scontate e ciò ha causato una profonda crisi nel sistema scolastico, mettendo in crisi il ruolo e le funzioni tradizionali dell'insegnante. Oggi non ha più senso addestrare all'uso di certe regole come sorta di esercizio spirituale per iniziati: oggi vi è una crisi di vocazioni allo studio che, se non viene arginata trovando altre forme di motivazione allo studio che non siano quelle della garanzia di affermazione sociale, porterà brevemente allo svuotamento di significato della funzione sociale  e pubblica della scuola. Ecco perché, quindi, è necessaria una maggiore attenzione agli aspetti semantici, alla costruzione dei significato degli oggetti di studio, alla loro costante applicazione nella vita quotidiana, come strumenti di interpretazione della realtà politica, sociale, economica.
	Particolare attenzione ai comportamenti degli studenti, al modo in cui costruiscono, comunicano, sistemano e ricordano le conoscenze. Il quadro di riferimento teorico, in questo caso, è quello di Lakhoff e Nunez, dei quali invitiamo a leggere i lavori riportati nella bibliografia (Lakhoff & Johnson, 1999; Lakhoff & Nunez, 2000).
	Particolare attenzione alle conoscenze che gli studenti hanno e alla loro organizzazione, prima di intraprendere un'attività di insegnamento - apprendimento. Riteniamo, infatti, che ogni attività didattica debba fare il conto con quelli che abbiamo chiamato sensi personali degli studenti e che corrispondono alle idee, immagini, convinzioni, preconcezioni che gli studenti si sono costruiti nella precedente esperienza scolastica ed extrascolastica. L'azione dell'insegnante è quella di costruire ambienti di apprendimento adeguati a portare gli studenti dai loro sensi personali, verso i significati istituzionali (Godino & Batanero, 1999). Assume allora particolare importanza, per costruire ambienti di apprendimento adeguati, un'analisi del sapere istituzionale e strumenti di indagine dei sensi personali egli studenti intorno agli oggetti di studio. Il nostro gruppo di progetto, non senza qualche perplessità da parte di qualche componente, ma con molto interesse ha deciso di utilizzare come strumento di lavoro le mappe concettuali (Damiano, 1994). Alleghiamo alcune nostre considerazioni sull'uso delle mappe concettuali.
	Particolare attenzione alla continuità e alla gestione delle necessarie discontinuità, epistemologiche e cognitive, nei percorsi di insegnamento apprendimento (Paola, 1996).

Si è scelto, come nucleo tematico per la costruzione delle attività, quello dello spazio e del tempo. Mettiamo a disposizione in linea un documento di riflessione su alcuni aspetti epistemologici legati allo spazio e al tempo, discusso in uno degli incontri preparatori del gruppo di progetto.